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歩くんですの箱 SS置き場

躍動感を表現するにはどうすればいいんだろう……と日々考え中。

1=2とかいう戯言

お久しぶりです。tamantrainです。
今回はSSではありませんが、ちょっとした戯言
「1=2の証明」
を書かせていただきたいと思います。

「1=2」といえばアンサイクロペディアで有名な記事(→こちら)で、読んでいるとありとあらゆる巧みな手を使って証明を完遂しているのでなかなか見ていて面白いですw

さて、今回私が考えた1=2の証明は
「可算集合の濃度を利用した証明」
です。

[証明]
1からnまでの自然数を要素とする集合をN(n)とする。
N(n)={1,2,3,…,n}
また、2次元平面上の格子点のうち、領域[1,n]×[1,n]に存在するもの全体を要素とする集合N(n)^2を考える。
N(n)^2={(x,y)|x∈N(n),y∈N(n)}
ここで、自然数全体の集合Nは、N(n)のn→∞の極限と考えられるから
N=lim(n→∞)N(n)
同様に、N^2={(x,y)|x∈N,y∈N}についても
N^2=lim(n→∞)N(n)^2
と書ける。

以下、集合Aの濃度(要素の個数)を|A|と表記することにする。
|N(n)|=n, |N(n)^2|=n^2
一方、NからN^2までの全単射が存在することは知られている通りである。すなわち
|N|=|N^2| ⇔ |N^2|-|N|=0 ⇔ lim(n→∞)(|N(n)^2|-|N(n)|)
∴lim(n→∞)(n^2-n)=0
が成り立つ。よって、数列{n^2-n}は0に収束する……(*)
数列の収束の定義から、命題(*)を同値な表現で書き換えると以下のようになる。

任意の実数ε>0に対しある自然数Mが存在し、任意の自然数n≧Mにおいて
|n^2-n|<ε……(1)

式(1)において、左辺は負でない整数となる。このため、εとして1未満の値を選ぶと
n^2-n=0 ⇔ n(n-1)=0 ⇔ n=0,1
が満たされなければならないことになる。
nは自然数なのでn=0とはならないからn=1である。
よって、M以上のすべての自然数nは1に等しいと結論できる。
また、Mもやはり
M^2-M=0 ⇔ M(M-1)=0
を満たす自然数であるからM=1である。
ゆえに、任意の自然数n≧M=1についてn=1が成り立つ。

以上の結果から
「すべての自然数は1に等しい」
という命題が証明されたことになる。
当然2も自然数なので1に等しい。
∴1=2 [終]

とまあ今回はおふざけでした。それでは、次回はまたSSでお会いしましょう!

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