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歩くんですの箱 SS置き場

躍動感を表現するにはどうすればいいんだろう……と日々考え中。

1=2とかいう戯言

お久しぶりです。tamantrainです。
今回はSSではありませんが、ちょっとした戯言
「1=2の証明」
を書かせていただきたいと思います。

「1=2」といえばアンサイクロペディアで有名な記事(→こちら)で、読んでいるとありとあらゆる巧みな手を使って証明を完遂しているのでなかなか見ていて面白いですw

さて、今回私が考えた1=2の証明は
「可算集合の濃度を利用した証明」
です。

[証明]
1からnまでの自然数を要素とする集合をN(n)とする。
N(n)={1,2,3,…,n}
また、2次元平面上の格子点のうち、領域[1,n]×[1,n]に存在するもの全体を要素とする集合N(n)^2を考える。
N(n)^2={(x,y)|x∈N(n),y∈N(n)}
ここで、自然数全体の集合Nは、N(n)のn→∞の極限と考えられるから
N=lim(n→∞)N(n)
同様に、N^2={(x,y)|x∈N,y∈N}についても
N^2=lim(n→∞)N(n)^2
と書ける。

以下、集合Aの濃度(要素の個数)を|A|と表記することにする。
|N(n)|=n, |N(n)^2|=n^2
一方、NからN^2までの全単射が存在することは知られている通りである。すなわち
|N|=|N^2| ⇔ |N^2|-|N|=0 ⇔ lim(n→∞)(|N(n)^2|-|N(n)|)
∴lim(n→∞)(n^2-n)=0
が成り立つ。よって、数列{n^2-n}は0に収束する……(*)
数列の収束の定義から、命題(*)を同値な表現で書き換えると以下のようになる。

任意の実数ε>0に対しある自然数Mが存在し、任意の自然数n≧Mにおいて
|n^2-n|<ε……(1)

式(1)において、左辺は負でない整数となる。このため、εとして1未満の値を選ぶと
n^2-n=0 ⇔ n(n-1)=0 ⇔ n=0,1
が満たされなければならないことになる。
nは自然数なのでn=0とはならないからn=1である。
よって、M以上のすべての自然数nは1に等しいと結論できる。
また、Mもやはり
M^2-M=0 ⇔ M(M-1)=0
を満たす自然数であるからM=1である。
ゆえに、任意の自然数n≧M=1についてn=1が成り立つ。

以上の結果から
「すべての自然数は1に等しい」
という命題が証明されたことになる。
当然2も自然数なので1に等しい。
∴1=2 [終]

とまあ今回はおふざけでした。それでは、次回はまたSSでお会いしましょう!

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出題

昨日の雨は酷かった。明日はどこかに出かけるかも知れないので、晴れてくれることを願う。

ここで、新たな問題を考案したので公表してみよう。整数問題の一種である。

【問題】
mを自然数、nを2桁の自然数とする。
nがm進数で表記されていると見なすとき、(n)mと表わす。ただし、nの各位の数はいずれもmより小さいものとする。
例えば、n=10とすると、(n)2=(10)2=(2)10、(n)3=(10)3=(3)10である。
方程式(n)x+(n)y+(n)z=(n)10を満たすような自然数(n,x,y,z)の組をすべて求めよ。
ただし、2≦x≦y≦zとする。

分かりにくいかもしれないので、もう少し補足すると、16進数で13と表記される数字は10進数では19にあたる。これを(13)16=(19)10と書いて表わす。また、(17)5のような数は(22)5のように各位の数が外側の数を超えない形になるように書かれなくてはならない。

解答はこちらから

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なんか考えてみた

またしても数学の問題を思いついたので載せてみたいと思う。今回の問題は管理人自身も苦手な確率の問題だが、むしろ確率というより対称式の問題といった方がよいかもしれない(←これがヒントになるか?)。問題はこれである。

確率の問題

ポイントはやはり、「いびつなさいころ」つまり、等確率で目が出るとは限らないさいころについて扱っている点だ。ここをどう処理するかがカギになる。
いずれにせよ、こんな問題を考えている暇があるならば、早くホームページを更新しろ、という批判が来そうであるが・・・・・・。

今回から解答はPDFファイルにすることとした。ということで解き終わった方は下のリンクへ。
解答例(PDF)

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1=2!?

1=2、そんなバカな!って、実は本当のことなのです。管理人は頭がおかしくなったのか、思われる方は、以下のサイトをご覧ください。数多くの証明方法が示されています。
http://ja.uncyclopedia.info/wiki/1%3D2
私も、一つ証明を考えてみました。
【証明を訂正しました。最小値の計算が間違っているところがありました。申し訳ございませんorz】
1=2の証明

っと、冗談はここまで。本当に1=2ならば、何のために2を定義したのか分からなくなってしまいます。先程示したサイトにある証明の中にはかなり巧みなものもありますが、そのすべては誤謬(ごびゅう)を含むものです。いろいろ探求して、間違い探しをしてみましょう。私が示した証明にも誤謬が含まれています。どこがおかしいか分かりましたか?

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答え

ホームページ全然更新してないなぁ。新都市東京高速鉄道では、新千葉線を調布まで延伸、および村原線を日原まで延伸する計画を進めているのですが、なかなか準備が進まず。

ところで、前回の問題はわかりましたか?それ以前に、挑戦された方がいらっしゃらないかもしれないですが。もし挑戦していただいていたら嬉しいです。問は、以下のようなものでした。


a+2b+2c=c^2-b,a≦b≦cを満たすような正の整数(a , b , c)の組をすべて求めよ。


方針としては、不等式の条件を使ってcの範囲を絞ること。 こんな感じです。
a+2b+2c=c^2-b
この式のcの項をすべて左辺に移動してみると
c^2-2c=a+3b・・・・・・ア
です。a≦c,b≦cなので、アの式の右辺にあるaとbをすべてcに置き換えてやると、
c^2-2c≦c+3c
という関係式が成り立ちます。あとはすべて左辺に移項してやれば
c^2-6c≦0⇔c(c-6)≦0
となり、2次不等式として解くことができます。cは自然数なので、
0<c≦6
と絞れました。ここまで絞れれば、cの値を順に与式に代入して試していけば終わりですから、この問題は解けたも同然です。
さらに他の条件を考えると、cの範囲は
4≦c≦6
というところまで絞られるのですが、そのことについては以下に掲載した解答例を御覧下さい。
整数問題解答

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